Question

3．如图，已知：△ABC中，点E是AB上一点，CE=AC，点D在BC上，DE=DB，DE的延长线与CA的延长线相交于点F，连结CE，求证：CD²=DE•DF．

Answer 1

分析 过点C做AB的平行线，交FD的延长线于点G，连接BG，根据已知条件得到DC=DG，根据全等三角形的性质得到∠DBG=∠DEC，根据等腰三角形的性质得到∠EAC=∠AEC，推出BG∥AC，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 证明：过点C做AB的平行线，交FD的延长线于点G，连接BG，
∵AB∥CG，
∴△DBE∽△DCG，
∵DE=DB，
∴DC=DG，
在△BDG与△EDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BD=DE}\\{∠BDG=∠EDC}\\{DG=CD}\end{array}\right.$，
∴△BDG≌△EDC，
∴∠DBG=∠DEC，
∵AC=CE，
∴∠EAC=∠AEC，
∵∠AEC+∠CED+∠DEB=∠CAE+∠EBC+∠GBD=180°，
∴BG∥AC，
∴△DBG∽△DCF，
∴$\frac{BD}{DC}$=$\frac{DG}{DF}$
又∵DG=DC BD=DE，
∴CD²=DE•DF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．