Question

17．如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是50°；
（2）探究∠B与∠NMA的关系，并说明理由；
（3）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）先根据三角形内角和定理求出∠A的度数，再由余角的定义即可得出结论；
（2）利用∠B表示出∠A的度数，再由余角的定义可得出结论；
（3）根据线段垂直平分线的性质得出MB=AM，进而可得出结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠B=70°，
∴∠B=∠C=70°，
∴∠A=180°-70°-70°=40°．
∵MN⊥AB，
∴∠NMA=90°-∠A=90°-40°=50°．
故答案为：50°；

（2）∠NMA=2∠B-90°．
理由：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A=180°-2∠B．
∵MN⊥AB，
∴∠NMA=90°-∠A=90°-180°+2∠B=2∠B-90°；

（3）∵MN是线段AB的垂直平分线，
∴AM=BM，
∴BM+CM=AC．
∵AB=AC，AB=8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC=14-8=6（cm）．

点评 本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解答此题的关键．