Question

19．阅读材料：为解方程（x²-3）²-5（x²-3）+4=0，我们可以将x²-3看作一个整体，然后设x²-3=y，
则原方程可化为y²-5y+4=0，（1）
从而解得y₁=1，y₂=4．
当y₁=1时，x²-3=1解得x₁=2，x₂=-2
当y₂=4时，x²-3=4解得x₃=$\sqrt{7}$，x₄=-$\sqrt{7}$，
∴原方程的解为x₁=2，x₂=-2，x₃=$\sqrt{7}$，x₄=-$\sqrt{7}$．
解答问题：
（1）填空：在原方程得到方程（1）的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
（2）解方程x⁴-8x²+12=0．

Answer 1

分析 （1）根据换元法解一元二次方程的过程及意义，即可得出结论；
（2）设x²=y，则原方程可化为y²-8y+12=0，解方程求出y值，进而得出x的值．

解答 解：（1）在原方程得到方程y²-5y+4=0的过程中，利用了换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想．
故答案为：换元，转化；
（2）设x²=y，则原方程可化为y²-8y+12=0，
解之得：y₁=2，y₂=6，
当 y=2 时，x²=2，
解得：x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$；
当 y=6 时，x²=6，
解得：x₃=$\sqrt{6}$，x₄=-$\sqrt{6}$．
∴原方程的解为x₁=$\sqrt{2}$，x₂=-$\sqrt{2}$，x₃=$\sqrt{6}$，x₄=-$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握利用换元法解一元二次方程的方法是解题的关键．