题目内容
9．【探索新知】已知平面上有n（n为大于或等于2的正整数）个点A1，A2，A3，…An，从第1个点A1开始沿直线滑动到另一个点，且同时满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，我们称此滑动为“完美运动”，且称所有点为“完美运动”的滑动点，记完成n个点的“完美运动”的路程之和为Sn．
（1）如图1，滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点，此时S3=3a；
（2）如图2，滑动点是边长为a，对角线（线段A1A2、A2A4）长为b的正方形四个顶点，此时S4=2a+2b．
【深入研究】
现有n个点恰好在同一直线上，相邻两点距离都为1，
（3）如图3，当n=3时，直线上的点分别为A1、A2、A3．
为了完成“完美运动”，滑动的步骤给出如图4所示的两种方法：
方法1：A1→A3→A2→A1，方法2：A1→A2→A3→A1．
①其中正确的方法为A．
A．方法1 B．方法2 C．方法1和方法2
②完成此“完美运动”的S3=4．
（4）当n分别取4，5时，对应的S4=8，S5=12．
（5）若直线上有n个点，请用含n的代数式表示Sn．
分析 （1）根据滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点进行判断即可；
（2）根据滑动点是边长为a，对角线长为b的正方形四个顶点进行判断即可；
（3）“完美运动”需要满足以下三个条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，而方法2 是错的，不满足第①个条件；
（4）根据条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，进行计算即可得出S4=3+2+1+2=8，S5=4+3+2+1+2=12；
（5）如果有n 个点，第一次要最大，只能是从第1 个点到第n 个点，长度是n-1；第2次要最大，只能是从第n 个点到第2 个，长度是n-2；按照此规律，如果n 是奇数，则最
后到最中间的点$\frac{n+1}{2}$，此点回到第1个点距离为$\frac{n+1}{2}-1$；如果n 为偶数，则最后到的点是$\frac{n}{2}+1$，此点回到第1 个点距离为$\frac{n}{2}$，据此进行计算即可．
解答 解：（1）如图1，∵滑动点是边长为a的等边三角形三个顶点，
∴S3=3a，
故答案为：3a；
（2）如图2，∵滑动点是边长为a，对角线长为b的正方形四个顶点，
∴S4=2a+2b，
故答案为：2a+2b；
（3）如图4，①∵方法2 是错的，不满足第①个条件，每一次距离要是最大的，
∴方法1正确，
故选A；
②如图3，S3=2+1+1=4，
故答案为：4；
（4）根据条件：①每次滑动的距离都尽可能最大；②n次滑动将每个点全部到达一次；③滑动n次后必须回到第1个点A1，可得：
S4=3+2+1+2=8，
S5=4+3+2+1+2=12，
故答案为：8，12；
（5）n 为奇数时：Sn=n-1+n-2+…+1+$\frac{n+1}{2}$-1=$\frac{{n}^{2}-1}{2}$；
n 为偶数时：Sn=n-1+n-2+…+1+$\frac{n}{2}$=$\frac{{n}^{2}}{2}$．
点评 本题主要考查了有关三角形，矩形以及线段的变化类的规律型问题，解决问题的关键是理解“完美运动”所满足的条件：每次滑动的距离都尽可能最大；n次滑动将每个点全部到达一次；滑动n次后必须回到第1个点A1，这是计算的主要依据．解题时注意分类思想的运用．
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