Question

13．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=2．以点C为位似中心将△ABC按$\sqrt{3}$：1放大，A、B的对应点分别为A′、B′，再将△A′B′C绕点C旋转90°，A′的对应点为P，则点P与B之间的距离为4或2．

Answer 1

分析 利用直角三角形中30°所对的边与斜边的关系以及勾股定理得出AC，BC的长，再利用位似图形的性质得出A′C，CB′的长，再利用旋转的性质得出答案．

解答 解：如图所示：∵∠C=90°，∠A=30°，AB=2，
∴BC=1，AC=$\sqrt{3}$，
∵以点C为位似中心将△ABC按$\sqrt{3}$：1放大，
∴CB′=$\sqrt{3}$，A′C=3，
当将△A′B′C绕点C顺时针旋转90°，
则PB=PC-BC=3-1=2，
当将△A′B′C绕点C逆时针旋转90°，
则P′B=P′C+BC=3+1=4，
综上所述：点P与B之间的距离为4或2．
故答案为：4或2．

点评 此题主要考查了位似变换以及旋转变换、勾股定理等知识，正确进行分类讨论得出是解题关键．