Question

12．在直角坐标系中，O为坐标原点，设点P（1，m）在函数$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的图象上，以OP为边作正方形OPQR，则OP=2；若反比例函数$y=\frac{k}{x}$经过点Q，则k=2或-2．

Answer 1

分析 把P（1，m）代入$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$即可求得m的值，然后根据勾股定理求得OP的长，作PM⊥x轴于M，QN⊥PM于N，通过证得△POM≌△QPN，得出PN=OM=1，NQ=PM=$\sqrt{3}$，从而求得Q的坐标，把Q点的坐标代入$y=\frac{k}{x}$即可求得k的值．

解答 解：∵点P（1，m）在函数$y=\frac{{\sqrt{3}}}{x}$的图象上，
∴m=$\sqrt{3}$，
∴P（1，$\sqrt{3}$），
∴OP=$\sqrt{{1}^{2}+（{\sqrt{3}）}^{2}}$=2，
如图，作PM⊥x轴于M，QN⊥PM于N，
∵OM=1，PM=$\sqrt{3}$，
∴tan∠POM=$\frac{PM}{OM}$=$\sqrt{3}$，
∴∠POM=60°，
∴∠OPM=30°
∴∠QPN=90°-30°=60°，
∴∠POM=∠QPN，
在△POM和△QPN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠POM=∠QPN}\\{∠PMO=∠QNP=90°}\\{OP=PQ}\end{array}\right.$
∴△POM≌△QPN，
∴PN=OM=1，NQ=PM=$\sqrt{3}$，
∴Q₁（1+$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$-1），
同理证得Q₂（1-$\sqrt{3}$，1+$\sqrt{3}$），
∴k=（1+$\sqrt{3}$）×（$\sqrt{3}$-1）=2，或k=（1+$\sqrt{3}$）（1-$\sqrt{3}$）=-2，
故答案为2，2或-2．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，勾股定理的应用，求得Q点的坐标是解题的关键．