Question

如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内的一点，且BD=DC，∠BDC=90°，已知AB=1，求AD的长．

Answer 1

考点：等边三角形的性质,等腰直角三角形

专题：

分析：延长AD交BC于点E，根据SSS定理可知△ABD≌△ACD，故∠BAD=∠CAD，所以AE是∠BAC的平分线，所以AE⊥BC，根据直角三角形的性质求出AE的长，由BD=DC，∠BDC=90°可得出DE的长，由AD=AE-DE即可得出结论．

解答：解：延长AD交BC于点E，
在△ABD与△ACD中，

AB=AC AD=AD BD=CD

，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∴AE是∠BAC的平分线，AE⊥BC．
∵等边△ABC的边长为1，
∴AE=AB•cos30°=1×

3

2

=

3

2

．
∵BD=DC，∠BDC=90°，
∴∠BAD=45°，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE=BE=

1

2

，
∴AD=AE-DE=

3

2

-

1

2

=

3 -1

2

．

点评：本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答此题的关键．