Question

15．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D是BC边的中点，点E，F分别在AB，AC上．且DE⊥DF．
求证：BE²+CF²=EF²．

Answer 1

分析 连接AD，根据等腰直角三角形的性质可得AD=BD，AD⊥BC，∠B=∠DAF=45°，再求出∠BDE=∠ADF，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=AF，再求出AE=CF，然后利用勾股定理列式即可得证．

解答 证明：如图，连接AD，
∵AB=AC，∠A=90°，点D是BC边的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC，∠B=∠DAF=45°，
∵DE⊥DF，
∴∠ADF+∠ADE=90°，
又∵∠BDE+∠ADE=∠ADB=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BDE=∠ADF}\\{AD=BD}\\{∠B=∠DAF=45°}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴BE=AF，
∵AB=AC，
∴AB-BE=AC-AF，
即AE=CF，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，AF²+AE²=EF²，
∴BE²+CF²=EF²．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．