如图1.直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴.y轴分别交于点A.B．动点P从点A出发.以每秒1个单位的速度沿AB向终点B运动.同时动点Q从点O出发.以每秒0.8个单位的速度沿OA向终点A运动.过点Q作直线AB的平行线交y轴于点C．设运动时间为t秒．(1)问在运动过程中.四边形APCQ是何种特殊的四边形?并证明你的结论．(2)当t为何值时.四边形APCQ是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．如图1，直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于点A、B．动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向终点B运动，同时动点Q从点O出发，以每秒0.8个单位的速度沿OA向终点A运动，过点Q作直线AB的平行线交y轴于点C．设运动时间为t（0＜t＜5）秒．
（1）问在运动过程中，四边形APCQ是何种特殊的四边形？并证明你的结论．
（2）当t为何值时，四边形APCQ是菱形？
（3）如图2，点D在动点Q右侧的x轴上，且始终满足QD=1，点M在直线AB上，其横坐标为-3，问当t为何值时，四边形MQDB的周长最小？最小值是多少？

分析（1）由△ABO∽△QCO，推出$\frac{AB}{QC}$=$\frac{AO}{QO}$，推出$\frac{5}{QC}$=$\frac{4}{0.8t}$，推出QC=t，由AP=t，可得AP=QC，AP∥QC，即可证明．
（2）当四边形式APCQ是菱形时，则有AP=AQ，则可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）如图2中，由题意M（-3，$\frac{3}{4}$），将点M向右平移1个单位得到M′（-2，$\frac{3}{4}$），作点M′关于OA的对称点M″（-2，-$\frac{3}{4}$），连接BM″交OA于D，此时四边形MQDB的周长最短，求出直线BM″的解析式，可得点D坐标，由此即可解决问题．

解答解：（1）结论：四边形APCQ是平行四边形．理由如下：
∵直线y=$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，
∴A（-4，0），B（0，3），
∴OA=4，OB=3，AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$=5．
∵QC∥AB，
∴△ABO∽△QCO，
∴$\frac{AB}{QC}$=$\frac{AO}{QO}$，
∴$\frac{5}{QC}$=$\frac{4}{0.8t}$，
∴QC=t，
∵AP=t，
∴AP=QC，∵AP∥QC，
∴四边形APCQ是平行四边形．

（2）∵四边形APCQ是平行四边形，
∴当AP=AQ时，四边形APCQ是菱形，
∴t=4-0.8t，
∴t=$\frac{20}{9}$s，
∴当t为$\frac{20}{9}$s时，四边形APCQ是菱形．

（3）如图2中，由题意M（-3，$\frac{3}{4}$），

将点M向右平移1个单位得到M′（-2，$\frac{3}{4}$），作点M′关于OA的对称点M″（-2，-$\frac{3}{4}$），连接BM″交OA于D，此时四边形MQDB的周长最短，
设直线BM″的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{b=3}\\{-2k+b=-\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{15}{8}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线BM″的解析式为y=$\frac{15}{8}$x+3，令y=0得到x=-$\frac{8}{5}$，
∴D（-$\frac{8}{5}$，0），
∴OQ=1+$\frac{8}{5}$=$\frac{13}{5}$，
∴t=$\frac{13}{5}$÷0.8=$\frac{13}{4}$s，
四边形MQDB的周长的最小值=MQ+QD+DB+BM
=DQ+DM′+BD+BM
=QD+M″D+DB+BM
=QD+BM″+BM
=1+$\sqrt{{2}^{2}+（3+\frac{3}{4}）^{2}}$+$\sqrt{{3}^{2}+（3-\frac{3}{4}）^{2}}$
=1+$\frac{17}{4}$+$\frac{15}{4}$=9．