Question

5．如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为4，△ABC的顶点都在格点．
（1）求每个小矩形的长与宽；
（2）在矩形网格中找出所有的格点E，使△ABE为直角三角形；（描出相应的点，并分别用E₁，E₂…表示）
（3）求sin∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）设每个小矩形的长为x，宽为y，根据图形可知小矩形的长与宽间的数量关系有两个：2个矩形的宽=矩形的长；两个矩形的宽+1个矩形的长=4，据此列出方程组，并解答即可；
（2）利用图形和勾股定理逆定理进行解答；
（3）利用面积法求得边AC上的高，然后由锐角三角函数的定义进行解答．

解答 解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=4}\\{2y=x}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
所以每个小矩形的长为2，宽为1；

（2）如图所示：
；

（3）由图可知，S_△ABC=4，设AC边上的高线为h，可知，$\frac{1}{2}$AC•h=4．
∵由图可计算AC=2$\sqrt{5}$，BC=$\sqrt{13}$，
∴h=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠ACB=$\frac{h}{BC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查了四边形综合题，需要掌握二元一次方程组的应用、勾股定理、勾股定理的逆定理以及锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的理解能力和观察图形的能力，求三角函数值需构建直角三角形是解此类题的常用作法．