Question

6．如图①，将两个完全相同的三角板纸片ABC与DEC重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．

（1）如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，DE交BC于点F，则线段DF与AC有怎样的关系？请说明理由．
（2）当△DEC绕点C旋转到图③的位置时，设△BDC的面积为S₁，△AEC中的面积为S₂，猜想：S₁与S₂有怎样的数量关系？并证明你的猜想．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质可得AC=CD，然后求出△ACD是等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠ACD=60°，然后根据内错角相等，两直线平行解答；
（2）过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，先依据AAS求得△ACM≌△DCN求得AM=DN，然后根据等底等高的三角形面积相等．

解答 解：（1）DF∥AC；
∵∠ACB=90°，∠B=∠E=30°，
∴∠A=∠CDE=60°，
∵AC=DC，
∴△ACD是等边三角形，
∴∠ACD=60°=∠CDE，
∴DF∥AC，
∴∠CFD=90°，∠DCF=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{1}{2}$AC；
（2）S₁=S₂；
过D点作DN⊥BC于N，AM⊥CE于M，如图③，

∵∠ECD=90°，
∴∠DCM=90°
∴∠DCN=90°-∠NCM，
又∵∠ACM=90°-∠NCM，
∴∠ACM=∠DCN，
在△ACM与△DCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACM=∠DCN}\\{AC=CD}\\{∠AMC=∠DNC}\end{array}\right.$，
∴△ACM≌△DCN（AAS），
∴AM=DN，
又∵CE=BC，
∴$\frac{1}{2}$BC•DN=$\frac{1}{2}$CE•AM，
即S₁=S₂．

点评 本题考查了等边三角形的判定及性质平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质以及等底等高的三角形面积相等．