Question

9．在△ABC中，AB=AC，点D，点E在边BC上不同的两点，且∠ADE=75°．
（1）如图1，若∠BAC=90°，CD=$\sqrt{2}$，求BC的长；
（2）如图2，若∠BAC=90°，∠EAD=45°，求证：DC=$\sqrt{3}$BE；
（3）如图3，若∠BAC=120°，∠EAD=60°，请问（2）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）作DG⊥AC于G，证明出△ABC是等腰直角三角形，进而求出AG的长，即可求出BC的长；
（2）作DH⊥AE于H，设DC=a，利用a表示出BC、DE和CD的长，根据线段之间的关系得到结论；
（3）作DG⊥AC于G，AH⊥BC于H，设DC=2a，还是利用a表示出BC、DE和CD的长，即可表示出线段DC和BE之间的数量关系．

解答 解：（1）如图1所示，作DG⊥AC于G，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠1=∠B=45°，
∵∠ADE=75°，
∴∠2=60°，∠DAG=30°，
∴DG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=1，AD=2DG=2，
∴AG=$\sqrt{A{D}^{2}-D{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴AC=AG+CG=$\sqrt{3}$+1，
∴BC=$\sqrt{2}$AG=$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$；
（2）如图2所示，作DH⊥AE于H，设DC=a，则DG=CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴AD=2DG=$\sqrt{2}$a，AG=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
∴AC=AG+CG=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$a，
∴BC=$\sqrt{2}$AC=（$\sqrt{3}$+1）a，
∵∠EAD=45°，
∴△ADH是等腰直角三角形，
∴AH=DH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AD=a，
∵∠4=180°-∠ADE-∠DAE=60°，
∴DE=2EH，
∴DE=DH÷$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
∴BE=BC-DE-CD=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$DC，
∴DC=$\sqrt{3}$BE；
（3）（2）中的结论不成立，理由如下：
如图3所示，作DG⊥AC于G，AH⊥BC于H，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠1=60°，
又∵∠ADE=75°，∠DAE=60°，
∴∠2=∠3=∠4=∠5=45°，
设DC=2a，则DG=AG=a，CG=$\sqrt{3}$a，
∴AC=AG+CG=（$\sqrt{3}$+1）a，
∴EH=AH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$a，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AC=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$a，
∴BC=2CH=（3+$\sqrt{3}$）a，DH=CH-DC=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$a，
∴DE=EH+DH=$\sqrt{3}$a，
∴BE=BC-DE-DC=（3+$\sqrt{3}$）a-$\sqrt{3}$a-2a=a=$\frac{1}{2}$DC，
∴DC=2BE．

点评 本题主要考查相似形综合题，此题涉及到勾股定理、等腰三角形的判定与性质等知识，解答本题的关键是正确作出辅助线，构造特殊的直角三角形，利用直角三角形的性质以及勾股定理解决线段的长度，此题有一定的难度．