Question

如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从点B出发沿BC向点C运动，动点Q同时以相同的速度从点C出发沿CD向D点运动．
（1）设BP=x，当x为何值时三角形△APQ面积最小，求出最小值；
（2）探究：△APQ能否构成直角三角形？若能，请确定点P所有可能的位置；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：综合题

分析：（1）根据正方形的性质表示出PC=4-x，DQ=4-x，再利用三角形面积公式和S_△APQ=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ进行计算得到S_△APQ=

1

2

x²-2x+8，然后配方后利用二次函数的性质求解；
（2）根据勾股定理，在Rt△ABP中得到AP²=AB²+BP²=4²+x²，在Rt△PCQ中得到PQ²=CQ²+PC²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，在Rt△ADQ中得到AQ²=AD²+DQ²=4²+（4-x）²=x²-8x+32，然后分类讨论：当∠APQ=90°时，根据勾股定理得4²+x²+2x²-8x+16=x²-8x+32；当∠AQP=90°时，根据勾股定理得到4²+x²=2x²-8x+16+x²-8x+32；当∠PAQ=90°时，根据勾股定理得到即4²+x²+x²-8x+32=2x²-8x+16，然后分别解方程求出x的值，从而得到P点的位置．

解答：解：（1）∵BP=x（0≤x≤4），
∴CQ=x，PC=4-x，DQ=4-x，
∵S_△APQ=S_{正方形ABCD}-S_△ABP-S_△PCQ-S_△ADQ
=4•4-

1

2

•4•x-

1

2

•x•（4-x）-

1

2

•4•（4-x）
=

1

2

x²-2x+8
=

1

2

（x-2）²+6，
∴当x=2时，S_△APQ有最小值，最小值为6；
（2）能．
在Rt△ABP中，AP²=AB²+BP²=4²+x²，
在Rt△PCQ中，PQ²=CQ²+PC²=x²+（4-x）²=2x²-8x+16，
在Rt△ADQ中，AQ²=AD²+DQ²=4²+（4-x）²=x²-8x+32，
当∠APQ=90°时，则AP²+PQ²=AQ²，即4²+x²+2x²-8x+16=x²-8x+32，
整理得x²=0，解得x=0，
∴此时P点在B点处，
当∠AQP=90°时，则AP²=PQ²+AQ²，即4²+x²=2x²-8x+16+x²-8x+32，
整理得x²-8x+16=0，解得x=4，
∴此时P点在C点处；
当∠PAQ=90°时，则AP²+AQ²=PQ²，即4²+x²+x²-8x+32=2x²-8x+16，
此方程无解．
综上所述，当点P在B点或C点时，△APQ为直角三角形．

点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握正方形的性质和二次函数的性质；会运用勾股定理表示线段之间的关系；会运用分类讨论思想的解决数学问题．