Question

8．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，点P在AC边上，以点P为中心，将△ABC顺时针旋转90°，得到△DEF，DE交边AC于G，当P为中点时，AG：DG的值为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

Answer 1

分析 利用特殊直角三角形的特点设出BC表示出线段AG，DG即可．

解答 解：设BC=x，
在Rt△ABC中，∠A=30°，
∴AB=2x，AC=$\sqrt{3}$x，
∵点P是AC中点，
∴PC=PA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
由旋转得，DP=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，DG=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{1}{2}$AB=x，
根据勾股定理得，PG=$\sqrt{D{G}^{2}-D{P}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{2}x）^{2}}$=$\frac{1}{2}$x，
∴AG=AP-PG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x-$\frac{1}{2}$x，
∴$\frac{AG}{DG}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x-\frac{1}{2}x}{x}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}$．
故答案为$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$．

点评 此题是旋转的性质题，主要考查了旋转的性质，直角三角形的性质．解本题的关键是解直角三角形．