Question

6．若关于x的一元二次方程-x²+2ax+2-3a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，则抛物线y=-x²+2ax+2-3a的顶点到x轴距离的最小值是$\frac{36}{25}$．

Answer 1

分析 先根据关于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1求出a的取值范围，再得出抛物线y=-x²+2ax+2-3a顶点的纵坐标表达式，把a的取值代入即可

解答 解：∵关于x的一元二次方程-x²+2ax+2-a=0的一根x₁≥1，另一根x₂≤-1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+2a+2-3a≥0}\\{-1-2a+2-3a≥0}\end{array}\right.$
∴a≤$\frac{1}{5}$，
∵抛物线y=-x²+2ax+2-3a=-（x-a）²+a²-3a+2．
∴抛物线的顶点坐标为（a，a²-3a+2）
y=-x²+2ax+2-3a的顶点纵坐标为2-3a+a²=（a-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{4}$
∵$\frac{3}{2}$＞$\frac{1}{5}$
当a=$\frac{1}{5}$时，抛物线y=-x²+2ax+2-3a的顶点到x轴距离最小为|2-3a+a^2|=$\frac{36}{25}$，
故答案为$\frac{36}{25}$．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点，熟知一元二次方程的根与抛物线与x轴的交点之间的关系是解答此题的关．．