Question

11．如图，在?ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=$\frac{1}{2}$BC，连结DE、CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=2，AD=6，∠B=45°，求△DCE的面积．

Answer 1

分析 （1）如图1，证明FD和CE平行且相等，根据一组对边平行且相等，得四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图2，过A作AG⊥BC于G，先根据特殊三角形值求出两平行线的距离AG，也就是△CDE以CE为底边的高，再由（1）CE=FD中求出CE的长，利用面积公式求△DCE的面积．

解答 证明：（1）如图1，在?ABCD中，
∴AD=BC，AD∥BC
∴FD∥CE
∵F是AD的中点，
∴FD=$\frac{1}{2}$AD
∵CE=$\frac{1}{2}$BC，
∴CE=FD
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图2，过A作AG⊥BC于G，
∴∠AGB=90°，
∵∠B=45°，AB=2，
∴sin∠B=sin45°=$\frac{AG}{AB}$，
∴$\frac{AG}{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AG=$\sqrt{2}$，
∵AD=6，
∴CE=FD=3，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}$×3×$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质和判定，难度不大；做好本题要熟练掌握平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；同时也要熟知平行四边形的性质．