Question

15．如图，?ABCD中，对角线AC、BD 相交于点O，BD=2AD，E、F分别是OC、AB的中点．求证：
（1）BE⊥AC；
（2）OF=$\frac{1}{4}$BD．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形对角线互相平分可得BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AD=BC，再结合条件BD=2AD可证出BO=BC，利用等腰三角形三线合一的性质可得结论；
（2）根据平行四边形对角线互相平分O是BD中点，再由条件F是AB的中点可得FO是△ABD的中位线，根据中位线定理可得FO=$\frac{1}{2}$AD，再根据条件BD=2AD，
可得OF=$\frac{1}{4}$BD．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，AD=BC，
∵BD=2AD，
∴AD=DO=BO=BC，
∴△BOC是等腰三角形，
∵E是CO中点，
∴BE⊥AC；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD中点，
∵F是AB的中点，
∴FO=$\frac{1}{2}$AD，
∵BD=2AD，
∴OF=$\frac{1}{4}$BD．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中位线定理和等腰三角形的性质，关键是掌握平行四边形对角线互相平分．