Question

4．如图1，?ABCD 中，∠ABC、∠ADC的平分线分别交AD、BC于点E、F．
（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；
（2）小明在完成（1）的证明后继续进行了探索．连接AF、CE，分别交BE、FD于点G、H，得到四边形EGFH．此时，他猜想四边形EGFH是平行四边形，请在框图（图2）中补全他的证明思路．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，由角平分线得出∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．证出EB∥DF，即可得出结论；
（2）由平行四边形的性质得出BE∥DF，DE=BF，得出AE=CF，证出四边形AFCE是平行四边形，得出GF∥EH，即可证出四边形EGFH是平行四边形．

解答 （1）证明：在?ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠ADC．AD=BC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC=$\frac{1}{2}$∠ABC．
∵DF平分∠ADC，
∴∠ADF=∠CDF=$\frac{1}{2}$∠ADC．
∵∠ABC=∠ADC．
∴∠ABE=∠EBC=∠ADF=∠CDF．
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EBC．
∴∠AEB=∠ADF．
∴EB∥DF．
∵ED∥BF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
（2）解：补全思路：GF∥EH，AE∥CF；理由如下：
∵四边形EBFD是平行四边形；
∴BE∥DF，DE=BF，
∴AE=CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴GF∥EH，
∴四边形EGFH是平行四边形．

点评 此题主要考查了平行四边形的性质与判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明EB∥DF和四边形AFCE是平行四边形，是解决问题的关键．