如图.已知抛物线y=$\frac{1}{3}$x2+bx+c经过△ABC的三个顶点.其中点A.AC∥x轴.点P是直线AC下方抛物线上的动点．(1)求抛物线的解析式,(2)过点P且与y轴平行的直线l与直线AB.AC分别交于点E.F.当四边形AECP的面积最大时.求点P的坐标和四边形AECP的最大面积,(3)当点P为抛物线的顶点时.在直线AC上是否存在点Q.使得以C.P.Q为顶点的三角形� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，已知抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx+c经过△ABC的三个顶点，其中点A（0，1），点B（9，10），AC∥x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点P且与y轴平行的直线l与直线AB、AC分别交于点E、F，当四边形AECP的面积最大时，求点P的坐标和四边形AECP的最大面积；
（3）当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上是否存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据平行于x轴的直线上点的纵坐标相等，可得C点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得C点坐标，根据待定系数法，可得AB的解析式，根据直线上的点满足函数解析式，可得E点坐标，根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PE的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据等腰直角三角形的性质，可得∠PCF=∠EAF，根据相似三角形的判定，可得关于t的方程，根据解方程，可得答案．

解答解：（1）将A（0，1），B（9，10）代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{3}×81+9b+c=10}\\{c=1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=1}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1；

（2）∵AC∥x轴，A（0，1），
∴$\frac{1}{3}$x²-2x+1=1，解得x₁=6，x₂=0（舍），即C点坐标为（6，1），
∵点A（0，1），点B（9，10），
∴直线AB的解析式为y=x+1，设P（m，$\frac{1}{3}$m²-2m+1）
∴E（m，m+1），
∴PE=m+1-（$\frac{1}{3}$m²-2m+1）=-$\frac{1}{3}$m²+3m．
∵AC⊥PE，AC=6，
∴S_{四边形AECP}=S_△AEC+S_△APC=$\frac{1}{2}$AC•EF+$\frac{1}{2}$AC•PF
=$\frac{1}{2}$AC•（EF+PF）=$\frac{1}{2}$AC•EP=$\frac{1}{2}$×6（-$\frac{1}{3}$m²+3m）=-m²+9m=-（m-$\frac{9}{2}$）²+$\frac{81}{4}$，
∵0＜m＜6，
∴当m=$\frac{9}{2}$时，四边形AECP的面积最大值是$\frac{81}{4}$，此时P（$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{4}$）；

（3）∵y=$\frac{1}{3}$x²-2x+1=$\frac{1}{3}$（x-3）²-2，
P（3，-2）．PF=y_F-y_p=3，CF=x_F-x_C=3，
∴PF=CF，
∴∠PCF=45°，
同理可得∠EAF=45°，
∴∠PCF=∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件得点Q，设Q（t，1）且AB=9$\sqrt{2}$，AC=6，CP=3$\sqrt{2}$，
∵以C，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{CP}{AB}$，$\frac{6-t}{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{9\sqrt{2}}$，
解得t=4，
Q（4，1）；
②当△CQP∽△ABC时，∴$\frac{CQ}{AB}$=$\frac{CP}{AC}$，
$\frac{6-t}{9\sqrt{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{6}$，
解得t=-3，
Q（-3，1）．
综上所述：当点P为抛物线的顶点时，在直线AC上存在点Q，使得以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，Q点的坐标为（4，1）或（-3，1）．