Question

6．如图，△ABC中，∠C=45°，AC=2$\sqrt{2}$，D为BC上一点，且AD=6，BD=3$\sqrt{2}$，则△ABC的周长为4$\sqrt{19}$+8$\sqrt{2}$+2．

Answer 1

分析 过点A作AE⊥BC，垂足为E，先求出AE和CE的长，再利用勾股定理求出DE和AB的长，进而求出△ABC的周长．

解答 解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠C=45°，AC=2$\sqrt{2}$，
∴AE=CE=2，
在△ADE中，DE=$\sqrt{A{D}^{2}-A{E}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∵BD=3$\sqrt{2}$，
∴BE=BD+DE=6$\sqrt{2}$，
在△AEB中，
AB=$\sqrt{B{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{72+4}$=4$\sqrt{19}$，
∴△ABC的周长为AB+BC+AC=4$\sqrt{19}$+6$\sqrt{2}$+2+2$\sqrt{2}$=4$\sqrt{19}$+8$\sqrt{2}$+2，
故答案为4$\sqrt{19}$+8$\sqrt{2}$+2

点评 本题主要考查了勾股定理的知识，解题的关键是过点A作△ABC的高，此题难度不大．