Question

16．如图，点P在直线y=x-1上，若存在过点P的直线交抛物线y=x²于A、B两点，且PA=AB，则称点P为“优点”，下列结论中正确的是（　　）

• A． 直线y=x-1上的所有点都是“优点”
• B． 直线y=x-1上仅有有限个点是“优点”
• C． 直线y=x-1上的所有点都不是“优点”
• D． 直线y=x-1上有无穷多个点（不是所有的点）是“优点”

Answer 1

分析 设A（m，n），P（x，x-1），根据PA=AB可找出点B的坐标，再根据A、B在抛物线y=x²上结合二次函数图象上点的坐标即可得出m、n之间的关系，消去n后可得出关于x的方程，利用根的判别式即可得出直线y=x-1上的所有点都是“优点”．

解答 解：设A（m，n），P（x，x-1），则B（2m-x，2n-x+1），
∵A，B在y=x²上，
∴n=m²，2n-x+1=（2m-x）²，
消去n，整理得关于x的方程：x²-（4m-1）x+2m²-1=0①，
∵△=（4m-1）²-4（2m²-1）=8m²-8m+5＞0恒成立，
∴方程（1）恒有实数解，
∵P点的随意性，
∴直线y=x-1上的所有点都是“优点”．
故选A．

点评 本题考查了二次函数图形上点的坐标特征：利用抛物线上的点满足抛物线解析式，可判断点是否在抛物线上或确定点的坐标．