Question

9．如图AB是半径为R的⊙O的直径，AC是⊙O的切线，其中A为切点．直线OC与⊙O相交于D，E两点，直线BD与AC相交于点F．
（1）求证：AD•AC=DC•EA
（2）若sin∠CDF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求线段AC的长．

Answer 1

分析 （1）由AC是⊙O的切线，易得∠CAD=∠AED，又由∠C是公共角，易证得△CAD∽△CEA，然后由相似三角形的对应边成比例，证得结论；
（2）由AB、DE是半径为R的⊙O的直径，证得四边形AEBD是矩形，令∠CDF=θ，可得∠ABD=∠AED=∠FDC=θ，然后由三角函数的性质求得AC的长．

解答 （1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAD=∠AED，
∵∠C=∠C，
∴△CAD∽△CEA，
∴$\frac{AD}{EA}$=$\frac{DC}{AC}$，
∴AD•AC=DC•EA；

（2）解：∵AB、DE是半径为R的⊙O的直径，
∴AB=DE，OA=OE=OB=OD，
∴四边形AEBD是矩形，
∴AE∥BF，
令∠CDF=θ，则∠ABD=∠AED=∠FDC=θ，
∴sin∠CDF=sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴AD=2Rsinθ=$\frac{2r}{\sqrt{3}}$，AE=BD=2Rcosθ=$\frac{2\sqrt{2}R}{\sqrt{3}}$，
令AC=m，
由（1）可知：CD=$\frac{AD•AC}{EA}$=$\frac{m}{\sqrt{2}}$，
∵CA²=CD•CE=CD（CD+2R），
即m²=$\frac{m}{\sqrt{2}}$（2R+$\frac{m}{\sqrt{2}}$），
解得：AC=m=2$\sqrt{2}$R．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质以及三角函数等知识．注意证得四边形AEBD是矩形，利用三角函数的性质列方程是解此题的关键．