Question

5．如图，过△ABC的顶点A，作直线AE与∠B的内角平分线垂直相交于点E，且与∠C的内角平分线相交于点P，过P作直线与底边BC平行，且与AB交于Q，与AC交于R，求证：QR=AQ+CR．

Answer 1

分析 根据角平分线的定义可得∠ABE=∠CBE，再利用“角边角”证明△ABE和△NBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠BAE=∠BNE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠APQ=∠BNE，从而得到∠BAE=∠APQ，然后根据等角对等边可得AQ=PQ，根据角平分线的定义可得∠ACP=∠BCP，根据两直线平行，内错角相等可得∠BCP=∠CPR，从而得到∠ACP=∠CPR，根据等角对等边可得CR=PR，然后根据QR=PQ+PR等量代换即可得证．

解答 证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵BE⊥AN，
∴∠AEB=∠NEB=90°，
在△ABE和△NBE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ABE=∠CBE}\\{BE=BE}\\{∠AEB=∠NEB=90°}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△NBE（ASA）
∴∠BAE=∠BNE，
∵QR∥BC，
∴∠APQ=∠BNE，
∴∠BAE=∠APQ，
∴AQ=PQ，
∵CP平分∠ACB，
∴∠ACP=∠BCP，
∵QR∥BC，
∴∠BCP=∠CPR，
∴∠ACP=∠CPR，
∴CR=PR，
由图可知，QR=PQ+PR，
∴QR=AQ+CR．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，等角对等边的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．