Question

7．如图，抛物线与x轴交于点A（-3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线的顶点为M，点M关于x轴的对称点为M′，直线BM′与抛物线的另一个交点为点D，求△CBD的面积；
（3）点P为x轴上方的抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交直线BD于点Q，求四边形APBQ面积的最大值，并求出此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）首先得出M以及M′的坐标，进而求出直线BM′的解析式，再求出D点坐标，进而利用S_△DBC=S_△CFB+S_△DFB得出答案；
（3）直接利用已知表示出四边形APBQ面积进而得出答案．

解答 解：（1）设抛物线解析式为：y=ax²+bx+c，将点A（-3，0），B（1，0），C（0，3）分别代入得：
$\left\{\begin{array}{l}{9a-3b+c=0}\\{a+b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$，
故抛物线解析式为：y=-x²-2x+3；

（2）如图所示：∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴M（-1，4），
∴点M关于x轴的对称点为M′（-1，-4），
设BM′的解析式为：y=kx+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{k+d=0}\\{-k+d=-4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=2}\\{d=-2}\end{array}\right.$，
故BM′的解析式为：y=2x-2，
将两函数解析式联立得：
$\left\{\begin{array}{l}{y=-{x}^{2}-2x+3}\\{y=2x-2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=1}\\{{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-5}\\{{y}_{2}=-12}\end{array}\right.$，
即D（-5，-12），
设直线DC的解析式为：y=ex+g，
则$\left\{\begin{array}{l}{-5e+g=-12}\\{g=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=3}\\{g=3}\end{array}\right.$，
故直线DC的解析式为：y=3x+3，
当y=0，则x=-1，即直线DC与x轴的交点F（-1，0），
故BF=1+1=2，
则S_△DBC=S_△CFB+S_△DFB=$\frac{1}{2}$×2×3+$\frac{1}{2}$×2×12=15；

（3）如图所示：设P（x，-x²-2x+3），则Q（x，2x-2），
四边形APBQ面积=S_△APB+S_△AQB=$\frac{1}{2}$×AB（-x²-2x+3）+$\frac{1}{2}$×AB×[-（2x-2）]
=2（-x²-2x+3-2x+2）
=-2x²-8x+10
=-2（x+2）²+18，
当x=-2时，S_{四边形APBQ}最大，此时-x²-2x+3=3，
即P（-2，3）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及二次函数最值求法、待定系数法求一次函数解析式等知识，正确分割图形求面积是解题关键．