Question

3．如图，若直线y=-x+6与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（1，m）与C（n，1）两点，以线段AC为斜边，在AC的两侧作等腰直角三角形ABC和ADC，其中∠B=∠D=90°，F为AD的中点，点E在边CD上，且DE=3EC，AE与CF相交于点G．
（1）求k的值；
（2）判断四边形ABCD是什么特殊的四边形，请说明理由；
（3）求证：∠AGF=∠DCF；
（4）在反比例函y=$\frac{k}{x}$的图象上找出一点M，使△AFM的面积与△AFG的面积相等，直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）求出A（1，5），得出k=5即可；
（2）由等腰直角三角形的性质得出AB=BC=AD=CD，即可得出四边形ABCD是正方形；
（3）取BC的中点M，连接AM、EM，证明△CEM∽△DFC，得出∠CME=∠DCF，同理：△CEM∽△BMA，得出$\frac{EM}{MA}=\frac{CM}{AB}$=$\frac{CE}{BM}$=$\frac{1}{2}$，∠CME=∠BAM，再证出△CEM∽△MEA，得出∠CME=∠MAE，证出∠MAE=∠DCF，证明四边形AMCF是平行四边形，由平行线的性质得出∠AGF=∠MAE，即可得出结论；
（4）求出直线AE的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{23}{4}$，同理：直线CF的解析式为y=-2x+11，解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}}\\{y=-2x+11}\end{array}\right.$得出G（$\frac{21}{5}$，$\frac{13}{5}$），过G作GM∥AD，交双曲线y=$\frac{5}{x}$于M，则M的纵坐标为$\frac{13}{5}$，由反比例函数解析式求出求出M的横坐标即可．

解答 （1）解：∵直线y=-x+6与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于A（1，m）与C（n，1）两点，
∴m=-1+6=5，-n+6=1，
∴m=n=5，
∴A（1，5），
代入y=$\frac{k}{x}$得：k=1×5=5；
（2）解：四边形ABCD是正方形，理由如下：
∵以线段AC为斜边，在AC的两侧作等腰直角三角形ABC和ADC，∠B=∠D=90°，
∴B（1，1），AB=BC=AD=CD，
∴四边形ABCD是正方形；
（3）证明：取BC的中点M，连接AM、EM，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，A（1，5），
∴AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠B=∠MCE=∠CDF=90°，
∵DE=3EC，
∴CE=1，BM=CM=2，
∵F为AD的中点，
∴AF=DF=2，
∴$\frac{CE}{DF}=\frac{CM}{CD}$=$\frac{1}{2}$，
∴△CEM∽△DFC，
∴∠CME=∠DCF，
同理：△CEM∽△BMA，
∴$\frac{EM}{MA}=\frac{CM}{AB}$=$\frac{CE}{BM}$=$\frac{1}{2}$，∠CME=∠BAM，
∵∠BAM+∠BMA=90°，
∴∠CME+∠BMA=90°，
∴∠AME=90°，
∵$\frac{EM}{MA}=\frac{CE}{CM}$=$\frac{1}{2}$，
∴△CEM∽△MEA，
∴∠CME=∠MAE，
∴∠MAE=∠DCF，
∵AF∥CM，AF=CM=2，
∴四边形AMCF是平行四边形，
∴AM∥CF，
∴∠AGF=∠MAE，
∴∠AGF=∠DCF；
（4）解：设直线AE的解析式为y=kx+b，
∵A（1，5），E（5，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{k+b=5}\\{5k+b=2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{3}{4}}\\{b=\frac{23}{4}}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=-$\frac{3}{4}$x+$\frac{23}{4}$，
同理：直线CF的解析式为y=-2x+11，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{3}{4}x+\frac{23}{4}}\\{y=-2x+11}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{21}{5}}\\{y=\frac{13}{5}}\end{array}\right.$，
∴G（$\frac{21}{5}$，$\frac{13}{5}$），
过G作GM∥AD，交双曲线y=$\frac{5}{x}$于M，如图2所示：
则M的纵坐标为$\frac{13}{5}$，△AFM的面积=△AFG的面积，
∴M的横坐标=5÷$\frac{13}{5}$=$\frac{25}{13}$，
∴M（$\frac{25}{13}$，$\frac{13}{5}$）．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了反比例函数解析式的求法、正方形的判定与性质、坐标与图形性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识；本题综合性强，难度较大．