题目内容
如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴、y轴的正半轴上（OA＜OB），且OA、OB的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个根．线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，交x轴于点D，点P是直线CD上一个动点，点Q是直线AB上一个动点．（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线CD的解析式；
（3）在坐标平面内是否存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为
| 1 |
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考点：一元二次方程的解,一次函数综合题,正方形的性质,相似三角形的判定
专题：综合题
分析：（1）利用因式分解法解方程x2-14x+48=0，求出x的值，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=
=10，根据线段垂直平分线的性质得到AC=
AB=5．再由两角对应相等的两三角形相似证明△ACD∽△AOB，由相似三角形对应边成比例得出
=
，求出AD=
，得到D点坐标（-
，0），根据中点坐标公式得出C（3，4），然后利用待定系数法即可求出直线CD的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：①当点Q与点B重合时，先求出BM的解析式为y=
x+8，设M（x，
x+8），再根据BM=5列出方程（
x+8-8）2+x2=52，解方程即可求出M的坐标；②当点Q与点A重合时，先求出AM的解析式为y=
x-
，设M（x，
x-
），再根据AM=5列出方程（
x-
）2+（x-6）2=52，解方程即可求出M的坐标．
（2）先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB=
| OA2+OB2 |
| 1 |
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| AD |
| AB |
| AC |
| AO |
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| 3 |
| 7 |
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（3）分两种情况进行讨论：①当点Q与点B重合时，先求出BM的解析式为y=
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解答：解：（1）解方程x2-14x+48=0，
得x1=6，x2=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=
=10，
∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，
∴AC=
AB=5．
在△ACD与△AOB中，
，
∴△ACD∽△AOB，
∴
=
，即
=
，
解得AD=
，
∵A（6，0），点D在x轴上，
∴D（-
，0）．
设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意知C为AB中点，
∴C（3，4），
∵D（-
，0），
∴
，解得
，
∴直线CD的解析式为y=
x+
；
（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为
AB长．
∵AC=BC=
AB=5，
∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：
①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=
x+8，设M（x，
x+8），
∵B（0，8），BM=5，
∴（
x+8-8）2+x2=52，
化简整理，得x2=16，
解得x=±4，
∴M1（4，11），M2（-4，5）；
②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=
x-
，设M（x，
x-
），
∵A（6，0），AM=5，
∴（
x-
）2+（x-6）2=52，
化简整理，得x2-12x+20=0，
解得x1=2，x2=10，
∴M3（2，-3），M4（10，3）；
综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（-4，5），M3（2，-3），M4（10，3）．
得x1=6，x2=8，
∵OA＜OB，
∴A（6，0），B（0，8）；
（2）在Rt△AOB中，∵∠AOB=90°，OA=6，OB=8，
∴AB=
| OA2+OB2 |
∵线段AB的垂直平分线CD交AB于点C，
∴AC=
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在△ACD与△AOB中，
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∴△ACD∽△AOB，
∴
| AD |
| AB |
| AC |
| AO |
| AD |
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解得AD=
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∵A（6，0），点D在x轴上，
∴D（-
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设直线CD的解析式为y=kx+b，
由题意知C为AB中点，
∴C（3，4），
∵D（-
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∴
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∴直线CD的解析式为y=
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（3）在坐标平面内存在点M，使以点C、P、Q、M为顶点的四边形是正方形，且该正方形的边长为
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∵AC=BC=
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∴以点C、P、Q、M为顶点的正方形的边长为5，且点Q与点B或点A重合．分两种情况：
①当点Q与点B重合时，易求BM的解析式为y=
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| 3 |
| 4 |
∵B（0，8），BM=5，
∴（
| 3 |
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化简整理，得x2=16，
解得x=±4，
∴M1（4，11），M2（-4，5）；
②当点Q与点A重合时，易求AM的解析式为y=
| 3 |
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∵A（6，0），AM=5，
∴（
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化简整理，得x2-12x+20=0，
解得x1=2，x2=10，
∴M3（2，-3），M4（10，3）；
综上所述，所求点M的坐标为M1（4，11），M2（-4，5），M3（2，-3），M4（10，3）．
点评：本题是一次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求一次函数的解析式，一元二次方程的解法，相似三角形的判定与性质，正方形的性质，综合性较强，难度适中．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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