Question

5．如图，△ABC中，AB=AC，O为AB上一点，以O为圆心，OB为半径的⊙O与AC切于点E，与BC交于点D，过D作⊙O的切线交AC于F，⊙O的半径为3，CF=1．
（1）求DC的长；（2）求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD、OE，由切线的性质得出∠OEF=∠ODF=90°，由等腰三角形的性质得出∠ODB=∠C，证出OD∥AC，得出AC⊥DF，因此∠EFD=90°，证出四边形ODFE是矩形，由OD=OE，证出四边形ODFE是正方形，得出OE=DF=EF=OD=OB=3，由勾股定理求出CD即可；
（2）设AB=AC=x，则OA=x-3，AE=x-4，在Rt△AOE中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

解答 解：（1）连接OD、OE，如图所示：
∵OB为半径的⊙O与AC切于点E，DF是⊙O的切线，
∴OE⊥AC，OD⊥DF，
∴∠OEF=∠ODF=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴AC⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴四边形ODFE是矩形，
又∵OD=OE，
∴四边形ODFE是正方形，
∴OE=DF=EF=OD=OB=3，
∵∠DFC=90°，
∴CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；

（2）设AB=AC=x，则OA=x-3，AE=x-4，
在Rt△AOE中，AE²+OE²=OA²，
即（x-4）²+3²=（x-3）²，
解得：x=8，
即AB的长为8．

点评 本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定、正方形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四边形ODFE是正方形是解决问题的关键．