Question

17．如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点B在原点0，直角边BC在x轴的正半轴上，∠ACB=90°，点A的坐标为（3，$\sqrt{3}$）．点D是BC边上一个动点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥BC交AB边于点E，将∠ABC沿直线DE翻折，点B落在x轴上的点F处．若△AEF为直角三角形．求点F的坐标．

Answer 1

分析 根据直角三角形的定义可分三种情况考虑：①当∠AEF=90°时，通过角的计算得出∠OED=45°=60°，自相矛盾，故此种情况不存在；②当∠AEF=90°时，根据角的计算得出∠FAC=30°，结合A点的坐标利用∠FAC的正切值可求出CF的长，再由边与边的关系即可得出OF的长，从而得出F点的坐标；③当∠EAF=90°时，根据角的计算得出∠CAF=30°，结合A点的坐标利用∠CAF的正切值可求出CF的，再由边与边的关系即可得出OF的长，从而得出F点的坐标．综合以上3种情况即可得出结论．

解答 解：△AEF为直角三角形分三种情况：
①当∠AEF=90°时，
∵∠OED=∠FED，且∠OED+∠FED+∠AEF=180°，
∴∠OED=45°．
∵∠ACB=90°，点A的坐标为（3，$\sqrt{3}$），
∴tan∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，∠ABC=30°．
∵ED⊥x轴，
∴∠OED=90°-∠ABC=60°．
45°≠60°，此种情况不可能出现；
②当∠AFE=90°时，
∵∠OED=∠FED=60°，
∴∠AEF=60°，
∵∠AFE=90°，
∴∠EAF=90°-∠AEF=30°．
∵∠BAC=90°-∠ABC=60°，
∴∠FAC=∠BAC-∠EAF=60°-30°=30°．
∵AC=$\sqrt{3}$，
∴CF=AC•tan∠FAC=1，
∴OF=OC-FC=3-1=2．
即此时点F的坐标为（2，0）；
③当∠EAF=90°时，
∵∠BAC=60°，
∴∠CAF=∠EAF-∠EAC=90°-60°=30°，
∵AC=$\sqrt{3}$，
∴CF=AC•tan∠FAC=1，
∴OF=OC+CF=3+1=4．
即此时点F的坐标为（4，0）．
综上知：若△AEF为直角三角形．点F的坐标为（2，0）、（4，0）．

点评 本题考查了一次函数图象与几何变换、角的计算以及解直角三角形，解题的关键是根据角的计算以及解直角三角形找出CF的长度．本题属于中档题，难度不大，但在解决该类题型时，部分同学往往会落掉2种情况，只得出F点的坐标为（2，0），因此在平常教学中应多加对学生引导，培养他们考虑问题的全面性．