Question

20．如图，抛物线C₁：y=（x-2）²，直线l：y=$\frac{1}{2}$x-1，顶点为A₁，l与y轴交于B点，将C₁沿A₁B方向平移n个单位的C₃，且C₃的顶点及x轴的两个交点为顶点的三角形为正三角形，求n．

Answer 1

分析 作DH⊥EF，如图，A（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征，设D点坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-1），利用顶点式得到抛物线C₃的解析式，再利用抛物线与x轴的交点问题表示出E点和F点坐标，从而得到EF的长，然后利用等边三角形的性质利用DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF得到关于t的方程，再解方程求出t的值，最后根据两点间的距离公式计算n的值．

解答 解：作DH⊥EF，如图，A（2，0），
设D点坐标为（t，$\frac{1}{2}$t-1），则抛物线C₃的解析式为y=（x-t）²+$\frac{1}{2}$t-1，
当y=0时，（x-t）²+$\frac{1}{2}$t-1=0，解得x₁=t+$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，x₂=t-$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，则E（t-$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，0），F（t+$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，0），
所以EF=t+$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$-（t-$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$）=2$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，
因为△DEF为等边三角形，
所以DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EF，即1-$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×2$\sqrt{1-\frac{1}{2}t}$，解得t₁=2（舍去），t₂=-4，则D（-4，-3），
所以A₁D=$\sqrt{（2+4）^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
即n的值为3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．解决本题的关键是求出平移后抛物线的顶点D的坐标．