Question

4．如图，阅读下面的题目及分析过程，并按要求进行证明．
已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE=∠CDE． 求证：AB=CD．
分析：证明两条线段相等，常用的一般方法是应用全等三角形或等腰三角形的判定和性质，观察本题中要要证AB=CD，必须添加适当的辅助线，构造全等三角形或等腰三角形请用二种不同的方法证明．

Answer 1

分析 方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G，先证明△BFE≌△CGE，得BF=CG，再证明△ABF≌△DCG即可．
方法二如图2中，：作CF∥AB，交DE的延长线于点F，先证明CF=CD，再证明△ABE≌△FCE即可．

解答 证明：方法一：如图1中，作BF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．
∴∠F=∠CGE=90°，
在△BFE和△CGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BEF=∠GEC}\\{BE=CE}\\{∠BFE=∠CGE}\end{array}\right.$，
∴△BFE≌△CGE．
∴BF=CG．
在△ABF和△DCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠DGC=90°}\\{∠BAE=∠CDE}\\{BF=CG}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DCG．
∴AB=CD．
方法二如图2中，：作CF∥AB，交DE的延长线于点F．
∴∠F=∠BAE．
又∵∠BAE=∠D，
∴∠F=∠D．
∴CF=CD．
在△ABE和△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠BAE}\\{∠AEB=∠FEC}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△FCE．
∴AB=CF．
∴AB=CD．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．