Question

8．如图，点E在正方形ABCD对角线AC上，且EC=2AE，Rt△FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形的边长为a，则重叠部分的面积为（　　）

• A． $\frac{5}{9}$a²
• B． $\frac{4}{9}$a²
• C． $\frac{2}{3}$a²
• D． $\frac{1}{4}$a²

Answer 1

分析 如图，作辅助线；首先证明四边形EPCQ为正方形；其次求出EP的长度，进而求出正方形EPCQ的面积；证明△PEM≌△QEN，得到S_△PEM=S_△QEN，进而得到${S}_{重叠部分}={S}_{正方形EPCQ}=\frac{4}{9}{a}^{2}$，即可解决问题．

解答 解：如图，过点E作EP⊥BC，EQ⊥CD；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠MCN=90°，CE平分∠MCN，
∴四边形PCQE为矩形，且EP=EQ，
∴四边形PCQE为正方形；
∵EC=2EA，
∴EC：CA=2：3；
∵EP∥AB，
∴△EPC∽△ABC，
∴EP：AB=EC：CA=2：3，
∴EP=$\frac{2}{3}$a，
∴正方形EPCQ的面积为$\frac{4}{9}{a}^{2}$；
∵四边形EPCQ为正方形，
∴∠PEQ=∠MEN=90°，
∴∠PEM=∠QEN；
在△PEM与△QEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MPE=∠NQE}\\{PE=NE}\\{∠PEM=∠QEN}\end{array}\right.$，
∴△PEM≌△QEN（ASA），
∴S_△PEM=S_△QEN，
∴${S}_{重叠部分}={S}_{正方形EPCQ}=\frac{4}{9}{a}^{2}$，
故选B．

点评 该题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的方法是作辅助线，将分散的条件集中；解题的关键是灵活运用正方形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、判断、推理或解答．