[探究问题]正△ABC的边长为8cm.AD是它的高线．.点P.Q分别是正△ABC的边AB和高AD上的两个动点.求BQ+QP的最小值,.点M是正△ABC高AD上的一动点.当AM为何值时.$\frac{1}{2}$AM+MC最小?并求出这个最小值,[解决问题]如图(3).A.B两地相距100km.AC是一条沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为60km� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．【探究问题】正△ABC的边长为8cm，AD是它的高线．
（1）如图（1），点P、Q分别是正△ABC的边AB和高AD上的两个动点，求BQ+QP的最小值；
（2）如图（2），点M是正△ABC高AD上的一动点，当AM为何值时，$\frac{1}{2}$AM+MC最小？并求出这个最小值；
【解决问题】如图（3），A、B两地相距100km，AC是一条沿东西方向向两边延伸的一条铁路．点B到AC的最短距离为60km．今计划在铁路线AC上修一个中转站M，再在BM间修一条笔直的公路到B地．如果同样的物资在每千米公路上的运费是铁路上的两倍．那么，为使通过铁路由A到M再通过公路由M到B的总运费达到最小值，请求出AM的长．（结果保留根号）

分析（1）根据题意作BR⊥AC，交AD于点Q，AC与点R，找出R关于AD的对称点P，则BQ+QP的值最小；
（2）根据题意得出C，M，N在一条直线上时，此时$\frac{1}{2}$AM+MC最小，进而求得即可；
（3）作BD⊥AC，垂足为点D，在AC异于点B的M，设出CM的长，然后表示出AM和利用勾股定理表示出BD的长，再表示出总费用，求出其最小值即可得出答案．

解答解：（1）如图1，

作BR⊥AC，交AD于点Q，AC与点R，作R关于AD的对称点P，
∵P、R关于AD的对称，
∴PQ=QR，
∴BQ+QP=BQ+QR=BR=8•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
即BQ+QP的最小值为4$\sqrt{3}$；

（2）如图2，

作CN⊥AB，垂足为点N，交AD于点M，此时$\frac{1}{2}$AM+MC最小，最小为CN的长．
∵△ABC是边长为2的正△ABC，
∴CN=BC•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴MN+CM=$\frac{1}{2}$AM+MC=4$\sqrt{3}$，
即$\frac{1}{2}$AM+MC的最小值为4$\sqrt{3}$．

（3）如图，

设物资在每千米铁路上运输费为1．公路上的费用为2．
AD=$\sqrt{A{B}^{2}-B{D}^{2}}$=$\sqrt{10{0}^{2}-6{0}^{2}}$=80，
令MD=x，则AM=80-x，
BM=$\sqrt{{x}^{2}+6400}$，
∴总费用y=AM+2BM=80-x+2$\sqrt{{x}^{2}+6400}$，
即y²+x²+6400+2xy-160x-160y=25600+4x²
化简得：3x²-2xy+160x-y²+160y+19800=0，
关于x的方程△≥O，
即：y²-160y-13250≥0
又∵y最小，
∴y=80+60$\sqrt{3}$．
x=20$\sqrt{3}$，
AM=80-20$\sqrt{3}$．