Question

3．如图，正方形ABCD的边长为6，点E是BC的中点，点F在AB边上，BF=2AF，延长BC至点M，使得CM=AF．
（1）试判断FD和DM的位置和大小关系，并说明理由；
（2）求∠EDF的度数．

Answer 1

分析 （1）根据正方形的性质得AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，则利用“SAS”判定△ADF≌△CDM，所以FD=MD，∠ADF=∠CDM，则可计算出∠FDM=90°，于是可判断FD⊥DM；
（2）先计算出BE=CE=3，BF=4，AF=2，则CM=AF=2，EM=EC+CM=5，再利用勾股定理计算出EF=5，则可根据“SSS”判定△DEF≌△DEM，得到∠EDF=∠EDM，所以∠EDF=$\frac{1}{2}$∠FDM=45°．

解答 解：（1）FD=DM，FD⊥DM．理由如下：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°，
在△ADF和△CDM中
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠A=∠DCM}\\{AD=CM}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△CDM，
∴FD=MD，∠ADF=∠CDM，
∴∠FDM=∠FDC+∠CDM=∠FDC+∠ADF=90°，
∴FD⊥DM；
（2）∵点E是BC的中点，
∴BE=CE=3，
∵BF=2AF，AB=6，
∴BF=4，AF=2，
∴CM=AF=2，
∴EM=EC+CM=5，
在△BEF中，EF=$\sqrt{B{E}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴EF=EM，
在△DEF和△DEM中
$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{EF=EM}\\{DF=DM}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△DEM，
∴∠EDF=∠EDM，
∴∠EDF=$\frac{1}{2}$∠FDM=$\frac{1}{2}$×90°=45°．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．也考查了全等三角形的判定与性质．