Question

8．如图，四边形ABCD中，G，H分别是AD，BC的中点，AB=CD，BA，CD的延长线交HG的延长线于点E，F，求证：∠BEH=∠CFH．

Answer 1

分析 如图，连接BD，作BD的中点M，连接HM、GM．利用三角形中位线定理证得△HMG是等腰三角形，则∠MHG=∠MGH．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MHG=∠AEH，∠MHG=∠DFH．根据等量代换证得∠BEH=∠CFH．

解答 证明：如图，连接BD，作BD的中点M，连接HM、GM．
∵点G是AD的中点，
∴在△ABD中，GM∥AB，GM=$\frac{1}{2}$AB，
∴∠MHG=∠AEH，
同理可证：HM∥CD，HM=$\frac{1}{2}$CD．
∴∠MHG=∠DFH．
又∵AB=CD，∴GM=HM，
∴∠MHG=∠MGH 即∠BEH=∠CFH．

点评 此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目的综合性较强，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线．