Question

16．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．
（1）图中共有6组不同的相似三角形（不包括点M、N相遇后出现的三角形）；
（2）若点M的运动速度为每秒1个单位长度，求点N的运动速度；
（3）当t为多少秒时，矩形DENM为正方形？

Answer 1

分析 （1）根据△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，可得共有6组不同的相似三角形；
（2）根据△ADM∽△ABC，AM=t，可得$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MD}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{DM}{4}$，即可得出DM=$\frac{4}{3}$t，EN=DM=$\frac{4}{3}$t，再根据△BEN∽△BAC，得出$\frac{BN}{BC}$=$\frac{EN}{AC}$，即$\frac{BN}{4}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{3}$，进而得到NB=$\frac{16}{9}$t，据此可得点N的运动速度：$\frac{16}{9}$t÷t=$\frac{16}{9}$；
（3）当点N、M相遇时，有$\frac{16}{9}$t+t=5，解得t=$\frac{9}{5}$；当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，则有$\frac{16}{9}$t=5，解得t=$\frac{45}{16}$，若矩形DENM为正方形，则DM=MN，分两种情况：①相遇前；②相遇后，分别根据DM=MN列出关于t的方程，求得t的值即可．

解答 解：（1）∵四边形DENM为矩形，
∴DE∥AB，∠AMD=∠ENB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠AMD=∠ENB=∠C=90°，
∴△ABC∽△ADM∽△DEC∽△EBN，
∴共有6组不同的相似三角形，
故答案为：6；

（2）在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∵在运动过程中四边形DENM总为矩形，
∴∠AMD=∠BNE=90°，
∴△ADM∽△ABC，
由题得：AM=t，
∴$\frac{AM}{AC}$=$\frac{MD}{BC}$，即$\frac{t}{3}$=$\frac{DM}{4}$，
∴DM=$\frac{4}{3}$t，
∴EN=DM=$\frac{4}{3}$t，
同理可得，△BEN∽△BAC，
∴$\frac{BN}{BC}$=$\frac{EN}{AC}$，即$\frac{BN}{4}$=$\frac{\frac{4}{3}t}{3}$，
∴NB=$\frac{16}{9}$t，
∴点N的运动速度：$\frac{16}{9}$t÷t=$\frac{16}{9}$，
∴点N的运动速度为每秒$\frac{16}{9}$个单位长度；

（3）当点N、M相遇时，有$\frac{16}{9}$t+t=5，
解得t=$\frac{9}{5}$，
当点N、M相遇后继续运动，点N先到达A点，此时点M停止运动，
则有$\frac{16}{9}$t=5，
解得t=$\frac{45}{16}$，
若矩形DENM为正方形，则DM=MN，分两种情况：
①相遇前：当0＜t＜$\frac{9}{5}$时，DM=$\frac{4}{3}$t，MN=5-t-$\frac{16}{9}$t=5-$\frac{25}{9}$t，
∴$\frac{4}{3}$t=5-$\frac{25}{9}$t，
解得t=$\frac{45}{37}$；
②相遇后：当$\frac{9}{5}$＜t≤$\frac{45}{16}$时，DM=$\frac{3}{4}$（5-t），MN=t-$\frac{9}{16}$（5-t），
∴$\frac{3}{4}$（5-t）=t-$\frac{9}{16}$（5-t），
解得t=$\frac{105}{37}$＞$\frac{45}{16}$（舍去），
综上所述，当t=$\frac{45}{37}$时，矩形DENM为正方形．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及正方形的性质的综合应用，解决问题的关键是根据相似三角形的对应边成比例列出比例式进行计算．解题时注意分类思想的运用．