题目内容
11．抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c的顶点（1，-2）（1）求抛物线C的解析式；
（2）直线l：y=kx+b与抛物线C交于A、B两点
①当b=-4时，若线段AB被x轴平分，求k的值；
②当k=1时，若线段AB=4$\sqrt{10}$，求b的值；
（3）抛物线C的顶点平移到原点，得新抛物线C1，抛物线C1上一点M（-4，t），过点M作抛物线的两条弦MD和MC，且MD⊥MC，判断直线DC是否过定点？并说明理由．
分析 （1）可设抛物线的顶点式，可直接得出抛物线的解析式；
（2）①联立直线和抛物线解析式，可整理成关于x的一元二次方程，设设A（x1，y1）、B（x2，y2），由根与系数的关系可求得x1+x2=4k+2，x1x2=9，再根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值；②同理，当k=1时，可得到关于b的方程，可求得b的值；
（3）由平移可求得抛物线C1的解析式，则可求出M点坐标，设C（x1，y1）、D（x2，y2），过点M作l∥y轴，过点C作CE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，可证明Rt△DFM∽Rt△MEC，由相似三角形的性质，整理可得4（x1+x2）-x1x2=32，设直线CD的解析式为y=kx+b，联立直线CD与抛物线C1的解析式，可整理成关于x的一元二次方程，再由根与系数的关系可得到b与k的关系，则可求得答案．
解答 解：（1）∵抛物线C：y=$\frac{1}{4}$x2+bx+c的顶点（1，-2），
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$（x-1）2-2；
（2）①当b=-4时，直线l解析式为y=kx-4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-1）^{2}-2}\\{y=kx-4}\end{array}\right.$，整理得x2-（4k+2）x+9=0，
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
∵AB被x轴平分，
∴y1+y2=0，
∵x1+x2=4k+2，x1x2=9，
∴y1+y2=k（x1+x2）-8=k（4k+2）-8=0，解得k=$\frac{-1±\sqrt{33}}{4}$；
②当k=1时，直线l解析式为y=x+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}（x-1）^{2}-2}\\{y=x+b}\end{array}\right.$，整理得x2-6x-7-4b=0，
∴x1+x2=6，x1x2=-7-4b，
当k=1时，AB=$\sqrt{2}$（x2-x1）=$\sqrt{2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{2}$$\sqrt{64+16b}$，
∵AB=4$\sqrt{10}$，
∴$\sqrt{2}$$\sqrt{64+16b}$=4$\sqrt{10}$，解得b=1；
（3）由题意可知抛物线C1的解析式为y=$\frac{1}{4}$x2，
∴M（-4，4），
设C（x1，y1）、D（x2，y2），
过点M作l∥y轴，过点C作CE⊥l于E，过点D作DF⊥l于F，如图，
∵MD⊥MC，
∴∠MDC=90°，
∴∠FDM+∠DMF=∠DMF+∠CME，
∴∠FDM=∠CME，且∠DFM=∠CEM=90°，
∴Rt△DFM∽Rt△MEC，
∴$\frac{DF}{ME}$=$\frac{FM}{EC}$，即$\frac{{x}_{2}+4}{4-{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{1}+4}$，
∵点C、D在抛物线C1上，
∴$\frac{{x}_{2}+4}{4-\frac{1}{4}{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{1}{4}{{x}_{2}}^{2}-4}{{x}_{1}+4}$，整理得4（x1+x2）-x1x2=32，
设直线CD的解析式为y=kx+b，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，整理得x2-4kx-4b=0，
∴x1+x2=4k，x1x2=-4b，
∴4×4k-（-4b）=32，整理可得b=8-4k
∴直线CD解析式为y=kx+b=kx-4k+8=k（x-4）+8，
∴直线CD过定点（4，8）．
点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、根与系数的关系、相似三角形的判定和性质及方程思想等知识．在（1）中注意抛物线顶点式的应用，在（2）中由平分或线段的长度得到关于k或b的方程是解题的关键，注意根与系数关系的应用，在（3）中构造三角形相似，由相似三角形的性质结合根与系数的关系得到b与k的关系是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．
| A． | $\frac{x}{2}$与$\frac{1}{x}$ | B． | -m3与n3 | C． | $\frac{2}{3}$a2b与2ab2 | D． | 22与32 |
在平面直角坐标系xOy中，正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…，按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…，An和点C1，C2，C3，…，Cn分别落在直线y=x+1和x轴上．抛物线L1过点A1，B1，且顶点在直线y=x+1上，抛物线L2过点A2，B2，且顶点在直线y=x+1上，…，按此规律，抛物线Ln过点An，Bn，且顶点也在直线y=x+1上，其中抛物线L2交正方形A1B1C1O的边A1B1于点D1，抛物线L3交正方形A2B2C2C1的边A2B2于点D2，…，抛物线Ln+1交正方形AnBnCnCn-1的边AnBn于点Dn（其中n≥2且n为正整数）．| A． | a6÷a2=a3 | B． | a5-a2=a3 | ||
| C． | （3a3）2=6a9 | D． | 2（a3b）2-3（a3b）2=-a6b2 |
如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，在线段AB上，动点M从点A出发向点B做匀速运动，同时动点N从B出发向点A做匀速运动，当点M、N其中一点停止运动时，另一点也停止运动，分别过点M、N做AB的垂线，分别交两直角边于点D、E，连接DE，若运动时间为t秒，在运动过程中四边形DENM总为矩形（点M、N重合除外）．（1）正方形的面积S（cm2）与边长a（cm）的函数关系式为a2
（2）用表格表示：
| a/m | … | $\frac{1}{2}$ | 1 | $\frac{3}{2}$ | 2 | $\frac{5}{2}$ | 3 | … |
| cm 2 | … | … |
（4）根据以上三种表示方法回答问题；
①自变量的取值范围是什么？
②如何描述S随a的变化而变化的惰况？
如图，在△ABC中，BD=CD，BE交AD于F，AE=EF，若BE=7CE，AE=$\frac{5}{2}$，则BF=$\frac{10}{3}$．