题目内容
7．
川西某高原上有一条笔直的公路，在紧靠公路相距40千米的A、B两地，分别有甲、乙两个医疗站，如图，在A地北偏东45°，B地北偏西60°方向上有一牧民区C，过点C作CH⊥AB于H．（1）求牧民区C到B地的距离（结果用根式表示）；
（2）一天，乙医疗队的医生要到牧民区C．若C、D两地距离是B、C两地距离的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，求∠ADC的度数及B、D两地的距离（结果保留根号）．
分析 （1）设CH=x，分别表示出AH，BH的值，让其相加得40求值即可求得CH的长，进而可求得CB的长；
（2）由CD和BC的数量关系可得CD和CH的数量关系，根据特殊角的三角函数值可求出∠ADC的度数，进而可得HD的长，用BH的长减去DH的长即为BD的距离．
解答 解：（1）设CH为x千米，由题意得，∠CBH=30°，∠CAH=45°，
∴AH=CH=x，
在Rt△BCH中，tan30°=$\frac{x}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴BH=$\sqrt{3}$x，
∵AH+HB=AB=40，
∴x+$\sqrt{3}$x=40，
解得x=20$\sqrt{3}$-20，
∴CB=2CH=40$\sqrt{3}$-40．
答：牧民区C到B地的距离为（40$\sqrt{3}$-40）千米；
（2）∵C、D 两地距离是B、C两地距离的$\frac{\sqrt{3}}{3}$倍，CH=$\frac{1}{2}$BC，
∴sin∠ADC=$\frac{CH}{CD}$=$\frac{\frac{1}{2}BC}{\frac{\sqrt{3}}{3}BC}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠ADC=60°．
在Rt△CHD中，DH=CH•cot∠CDH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$CH，
∵BH=$\sqrt{3}$CH，CH=20$\sqrt{3}$-20，
∴BD=BH-DH=$\sqrt{3}$CH-$\frac{\sqrt{3}}{3}$CH=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（20$\sqrt{3}$-20）=40-$\frac{40\sqrt{3}}{3}$．
答：BD之间的距离为40-$\frac{40\sqrt{3}}{3}$千米．
点评 本题考查了解直角三角形的应用以及构造直角三角形，利用勾股定理及特殊的三角函数值求解是解决本题关键．
轻松暑假总复习系列答案
中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i=1：2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的 一座雕像C的俯角为76°（雕像的高度忽略不计），远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°．已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为（ ）（参考数据：tan76°≈4.0，tan27°≈0.5，sin76°≈0.97，sin27°≈0.45．
如图，线段AB边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，AB的长为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上表示的实数是（ ）| A． | 1+$\sqrt{2}$ | B． | $\sqrt{2}$ | C． | $\sqrt{2}-1$ | D． | 1 |
| A． | $m＞\frac{1}{2}$ | B． | m＜1 | C． | $m＜-\frac{1}{2}$或m＞1 | D． | $-\frac{1}{2}＜m＜1$ |
先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：