Question

20．如图，已知等边△ABC的边长为4，以AB为直径的圆交BC于点F，以C为圆心，CF的长为半径作圆，D是⊙C上一动点，E为BD的中点，当AE最大时，BD的长为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 2$\sqrt{3}$+1
• D． 6

Answer 1

分析 点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．

解答 解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，
连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，
∴EF⊥BC，
∴F是BC的中点，
∵E为BD的中点，
∴EF为△BCD的中位线，
∴CD∥EF，
∴CD⊥BC，
BC=4，CD=2，
故BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\sqrt{16+4}$=2$\sqrt{5}$，
故选B．

点评 本题主要考查了等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质，勾股定理，正确的作出辅助圆是解题的关键．