Question

12．如图，矩形ABCD中，AD=5，AB=10，分别以AD、BC为斜边向矩形外作Rt△ADF≌Rt△CBE，延长FA、EB交于点G．
（1）求证：△ADF∽△BAG；
（2）若DF=4，请连接EF并求出EF的长．

Answer 1

分析 （1）易证∠DAF=∠GBA和∠ADF=∠BAG即可解题；
（2）连接EF，根据（1）结论可以求得AG，BG的长度，易证△ABG为Rt△，即可解题．

解答 解：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB=90°，即∠DAF+∠BAG=90°，
又∵∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠BAG，
同理∠ECB=∠GBA，
∵△ADF≌△CBE，
∴∠ECB=∠DAF，
∴∠DAF=∠GBA，
∵在△ADF和△BAG中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DAF=∠GBA}\\{∠ADF=∠BAG}\end{array}\right.$，
∴△ADF∽△BAG；
（2）连接EF，如图，

∵在Rt△ADF中，AD=5，DF=4，∴AF=$\sqrt{{AD}^{2}{-DF}^{2}}$=3，
∵△ADF∽△BAG，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{DF}{AG}$=$\frac{AF}{GB}$，∠AGB=∠AFD=90°，
∴AG=8，BG=6，
∴FG=AF+AG=11，EG=EB+BG=DF+BG=4+6=10，
∴在Rt△EFG中，EF=$\sqrt{{FG}^{2}{+EG}^{2}}$=$\sqrt{221}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和相似三角形对应边比例相等的性质，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证∠AGB是直角是解题的关键．