Question

7．已知关于x的方程x²-2（m-1）x+m²=0有两个实数根x₁、x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若x₁•x₂+x₁+x₂=1，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=-8m+4≥0，解之即可得出m的取值范围；
（2）根据根与系数的关系可得x₁+x₂=2（m-1）、x₁•x₂=m²，结合x₁•x₂+x₁+x₂=1即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的方程x²-2（m-1）x+m²=0有两个实数根，
∴△=[-2（m-1）]²-4×1×m²=-8m+4≥0，
解得：m≤$\frac{1}{2}$．
（2）∵关于x的方程x²-2（m-1）x+m²=0有两个实数根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=2（m-1），x₁•x₂=m²，
∴x₁•x₂+x₁+x₂=m²+2（m-1）=1，即m²+2m-3=0，
解得：m=-3或m=1（舍去）．

点评 本题考查了根与系数的关系、根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数的关系结合x₁•x₂+x₁+x₂=1找出关于m的一元二次方程．