Question

8．如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，DM⊥AB交BA的延长线于M，连接DA．
（1）求证：AB+BC=2BM；
（2）求证：BC-BA=2AM．

Answer 1

分析 （1）延长CD交BA的延长线于点F，证△BDF≌△BDC得BC=BF，由DM⊥AB知DM∥AC，进而知AF=2AM，整理可证得结论；
（2）利用（1）中BC=BF和AF=2AM，结合线段和差可证得结论．

解答 证明：
（1）如图，延长CD交BA的延长线于点F，

∵AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，
∴∠FBD=∠CBD，
∵CD⊥BE，
∴∠BDF=∠BDC=90°，
在△BDF和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠BDF=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△BDC（ASA），
∴BF=BC，DF=DC，
∵DM⊥AB，CA⊥AB，
∴DM∥AC，
∴MF=AM，即AF=2AM
∴AB+BC=AB+AF=AB+AB+AF=2AB+2AM=2BM；
（2）由（1）可知BC=BF，
∴BC-BA=BF-BA=AF=2AM．

点评 本题主要考查全等三角形的性质与判定及三角形的中位线定理，构建全等三角形是解题关键．