Question

10．如图，矩形ABCD的两条对角线交于点O，DE∥AC，CE∥DB，DE和CE交于点E，求证：OE和CD互相垂直平分．

Answer 1

分析 已知OE与CD是四边形OCDE的对角线，且DE∥AC，CE∥BD，即：四边形OCED是平行四边形，要证明OE⊥CD，只需证明四边形OCED是菱形，由菱形的对角线互相垂直即可求解．

解答 证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=OD=OB（矩形的对角线相等且互相平分），
又∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵OC=OD，
∴四边形OCED是菱形，
∴OE⊥CD且OE与CD互相平分（菱形的对角线互相垂直平分）．

点评 本题考查矩形的性质和菱形的性质，即：矩形的对角线相等且互相平分；菱形的对角线互相垂直．