已知:在矩形ABCD和△BEF中.∠DBC=∠EBF=30°.∠BEF=90°．(1)如图1.当点E在对角线BD上.点F在BC边上时.连接DF.取DF的中点M.连接ME.MC.则ME与MC的数量关系是ME=MC.∠EMC=120°,(2)如图2.将图1中的△BEF绕点B旋转.使点E在CB的延长线上.(1)中的其他条件不变．①(1)中ME与MC的数量关系仍然成立吗?请证明你的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．已知：在矩形ABCD和△BEF中，∠DBC=∠EBF=30°，∠BEF=90°．

（1）如图1，当点E在对角线BD上，点F在BC边上时，连接DF，取DF的中点M，连接ME，MC，则ME与MC的数量关系是ME=MC，∠EMC=120°；
（2）如图2，将图1中的△BEF绕点B旋转，使点E在CB的延长线上，（1）中的其他条件不变．
①（1）中ME与MC的数量关系仍然成立吗？请证明你的结论；
②求∠EMC的度数．

分析（1）首先根据∠BEF=90°，可得∠DEF=90°，再根据点M是DF的中点，可得ME=MD，同理，可得MC=MD，据此推得ME=MC即可；然后判断出∠EMF=2∠MDE，∠CMF=2∠MDC，即可判断出∠EMC=∠EMF+∠CMF=2∠BDC，再根据∠DBC=30°，求出∠BDC的度数，即可求出∠EMC的度数是多少．
（2）①首先根据全等三角形判定的方法，判断出△FEM≌△DGM，即可判断出EM=GM；然后在Rt△GEC中，CM=$\frac{1}{2}$EG=EM，据此判断出ME=MC即可．
②首先分别延长FE，DB交于点H，然后根据全等三角形判定的方法，判断出△FEB≌△HEB，即可判断出FE=HE；再根据FM=MD，可得EM∥HD，据此求出∠7的度数是多少；最后根据ME=MC，求出∠EMC的度数是多少即可．

解答解：（1）如图1，
，
∵∠BEF=90°，
∴∠DEF=90°，
∵点M是DF的中点，
∴ME=MD，
∵∠BCD=90°，点M是DF的中点，
∴MC=MD，
∴ME=MC；
∵ME=MD，
∴∠MDE=∠MED，
∴∠EMF=∠MDE+∠MED=2∠MDE，
∵MC=MD，
∴∠MDC=∠MCD，
∴∠CMF=∠MDC+∠MCD=2∠MDC，
∴∠EMC=∠EMF+∠CMF=2（∠MDE+∠MDC）=2∠BDC，
又∵∠DBC=30°，
∴∠BDC=90°-30°=60°，
∴∠EMC=2∠BDC=2×60°=120°．

（2）①ME=MC仍然成立．
证明：如图2，分别延长EM，CD交于点G，
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCB=90°．
∵∠BEF=90°，
∴∠FEB+∠DCB=180°．
∵点E在CB的延长线上，
∴FE∥DC．
∴∠1=∠G．
∵M是DF的中点，
∴FM=DM．
在△FEM和△DGM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠G}\\{∠2=∠3}\\{FM=DM}\end{array}\right.$，
∴△FEM≌△DGM，
∴ME=GM，
∴在Rt△GEC中，
MC=$\frac{1}{2}$EG=ME，
∴ME=MC．
②如图3，分别延长FE，DB交于点H，
，
∵∠4=∠5，∠4=∠6，
∴∠5=∠6．
∵点E在直线FH上，∠FEB=90°，
∴∠HEB=∠FEB=90°．
在△FEB和△HEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FEB=∠HEB}\\{EB=EB}\\{∠5=∠6}\end{array}\right.$，
∴△FEB≌△HEB．
∴FE=HE．
∵FM=MD，
∴EM∥HD，
∴∠7=∠4=30°，
∵ME=MC，
∴∠7=∠8=30°，
∴∠EMC=180°-∠7-∠8=180°-30°-30°=120°．
故答案为：ME=MC，120．

点评（1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了全等三角形的判定，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①判定定理1：SSS--三条边分别对应相等的两个三角形全等．②判定定理2：SAS--两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．③判定定理3：ASA--两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等．④判定定理4：AAS--两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等．⑤判定定理5：HL--斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等．