Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+1与y=-$\frac{3}{4}$x+3交于点A，且分别交x轴于点B和点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）点D是直线AC上的一个动点，当△CBD为等腰三角形时，求满足条件的第四象限点D的坐标．

Answer 1

分析 （1）在两直线解析式中分别令y=0，求得相应的x的值，可求得B、C两点的坐标，联立两直线方程可求得A点坐标；
（2）由条件可得到BD=CD，设出D点坐标，过D作DM⊥x轴于点M，可表示出MC、DC，由勾股定理可得到关于x的方程，可求得D点坐标．

解答 解：
（1）在y=x+1中，令y=0可得x=-1，
∴B点坐标为（-1，0），
在y=-$\frac{3}{4}$x+3中，令y=0可得0=-$\frac{3}{4}$x+3，解得x=4，
∴C点坐标为（4，0），
联立两直线方程可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-\frac{3}{4}x+3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{8}{7}}\\{y=\frac{15}{7}}\end{array}\right.$，
∴A点坐标为（$\frac{8}{7}$，$\frac{15}{7}$）；
（2）当△CBD为等腰三角形，点D在第四象限时，∠BCD为钝角，则BC=CD．
设点D的坐标为（x，y），由（1）得B（-1，0），C（4，0），
∴BC=5．
如图，过D作DM⊥x轴于点M，则DM²+CM²=CD²，
∵MC=x-4，DM=|-$\frac{3}{4}$x+3|，DC=5，
∴（x-4）²+（-$\frac{3}{4}$x+3）²=5²，
解得x=8或x=0（舍去），
此时y=-$\frac{3}{4}$×8+3=-3，
∴D点坐标为（8，-3）．

点评 本题主要考查一次函数的交点，掌握两函数的交点坐标为对应方程组的解是解题的关键，在（2）中注意等腰三角形性质的应用．