Question

18．已知：如图1，在矩形ABCD中，BD是对角线，以BD为斜边向上作等腰直角△EBD，BE交AD于点F，连接AE．
（1）若BE=$\sqrt{5}$，AB=$\frac{1}{3}$BC，求矩形ABCD的面积；
（2）若点F是BE中点，求证：AE=$\sqrt{2}$CD；
（3）如图2，若AE=AB，直接写出$\frac{EF}{BD}$的值．

Answer 1

分析 （1）先求出BD，设AB=a，BC=3a，利用勾股定理求出a即可解决问题．
（2）设BF=EF=a，则ED=BE=2a，DF=$\sqrt{5}$a，由△ABF∽△EDF，得到=$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BF}{DF}$，求出AB、AF，再证明△AFE∽△BFD，求出AE即可解决问题．
（3）如图3中，作EN⊥AD于N，在BC上截取一点M使得BM=DM．先证明△ENF∽△BCD，得$\frac{EF}{BD}$=$\frac{EN}{BC}$，设EN=a，求出BC即可解决问题．

解答 （1）解：如图1中，

∵BE=ED=$\sqrt{5}$，∠BED=90°，
∴BD=$\sqrt{2}$BE=$\sqrt{10}$，
∵BC=3AB，设AB=a，则BC=3a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∴a²+9a²=10，
∴a=1，
∴BC=3，CD=1，
∴矩形ABCD的面积为10．

（2）如图2中，

∵BF=EF，设BF=EF=a，则ED=BE=2a，DF=$\sqrt{5}$a，
∵∠AFB=∠EFD，∠BAF=∠FED，
∴△ABF∽△EDF，
∴$\frac{AF}{EF}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BF}{DF}$，
∴AF=$\frac{\sqrt{5}}{5}$a，AB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$a，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∵$\frac{AF}{BF}$=$\frac{EF}{DF}$，∠AFE=∠BFD，
∴△AFE∽△BFD，
∴$\frac{AE}{BD}$=$\frac{EF}{DF}$，
∴$\frac{AE}{2\sqrt{2}a}$=$\frac{a}{\sqrt{5}a}$，
∴AE=$\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}$a，
∴$\frac{AE}{CD}$=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{5}}a}{\frac{2\sqrt{5}}{5}a}$=$\sqrt{2}$，
∴AE=$\sqrt{2}$CD．

（3）如图3中，作EN⊥AD于N，在BC上截取一点M使得BM=DM．

∵AB=AE，
∴∠ABE=∠AEB，
∵△AFE∽△BFD，△ABF∽△EDF，
∴∠AEB=∠BDF，∠ABF=∠EDF，
∴∠EDF=∠ADB=22.5°，
∵∠ENF=∠C=90°，∠EFN=∠BDC=67.5°，
∴△ENF∽△BCD，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{EN}{BC}$，设EN=a．
∵∠EAF=∠FBD=45°，
∴∠NAE=∠NEA=45°，
∴AN=EN=a，AE=AB=CD=$\sqrt{2}$a，
∵BM=MD，
∴∠MBD=∠MDB=22.5°，
∴∠DMC=45°=∠MDC，
∴CM=CD=$\sqrt{2}$a，BM=DM=2a，
∴BC=（2+$\sqrt{2}$）a，
∴$\frac{EF}{BD}$=$\frac{EN}{BC}$=$\frac{a}{（2+\sqrt{2}）a}$=$\frac{2-\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考压轴题．