Question

1．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接AC，∠MAC=∠CAB，作CD⊥AM，垂足为D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠ACD=30°，AD=4，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）先证明OC∥AM，由CD⊥AM，推出OC⊥CD即可解决问题．
（2）根据S_阴=S_△ACD-（S_扇形OAC-S_△AOC）计算即可．

解答 （1）证明：连接OC．
∵OA=OC．
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠MAC=∠OAC，
∴∠MAC=∠OCA，
∴OC∥AM，
∵CD⊥AM，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．

（2）解：在RT△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=4，∠ADC=90°，
∴AC=2AD=8，CD=$\sqrt{3}$AD=4$\sqrt{3}$，
∵∠MAC=∠OAC=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴S_阴=S_△ACD-（S_扇形OAC-S_△AOC）
=$\frac{1}{2}$×4×4$\sqrt{3}$-（$\frac{60•π•{8}^{2}}{360}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8²）
=24$\sqrt{3}$-$\frac{32}{3}$π．
补充等边三角形面积公式：设等边三角形△AOC的边长为a，作CD⊥AO于D．

在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，AC=a，∠A=60°，
∴∠ACD=30°，
∴AD=$\frac{1}{2}$a，CD=$\sqrt{A{C}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{1}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△AOC=$\frac{1}{2}$•OA•CD=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²．

点评 本题考查切线的判定、扇形的面积，解题的关键是熟练掌握切线的判定方法，学会利用分割法求面积，属于中考常考题型．