Question

6．如图，四边形OABC为直角梯形，已知AB∥OC，BC⊥OC，A点坐标为（3，4），AB=6．
（1）求出直线OA的函数解析式；
（2）求出梯形OABC的周长；
（3）若直线l经过点D（3，0），且直线l将直角梯形OABC的面积分成相等的两部分，试求出直线l的函数解析式．
（4）若直线l经过点D（3，0），且直线l将直角梯形OABC的周长分为5：7两部分，试求出直线l的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）设OA的解析式为y=kx，依题意可得k值．
（2）延长BA交y轴于点D．推出AD=3，OD=4．根据勾股定理推出AO的值．然后推出OC，BC的长．可求梯形周长．
（3）根据题意直线l把梯形方程两个梯形，设出直线l和上底的交点坐标，由总面积为30，用梯形OAED的面积等于15，就出交点坐标，即可；
（4）根据2可得被l分成的两部分分别为10和14，故要分两种情况讨论．求出点P的坐标，设PD的解析式为y=mx+n，利用待定系数法求出直线PD的解析式

解答 解：（1）设OA的解析式为y=kx，
则3k=4，
∴k=$\frac{4}{3}$．
∴OA的解析式为y=$\frac{4}{3}$x．

（2）如图，延长BA交y轴于点D．

∵BA∥OC，
∴AD⊥y轴．且AD=3，OD=4．
∴AO=5，∴DB=3+6=9．
∴OC=9，又BC=OD=4．
∴C_OABC=OA+AB+BC+OC=5+6+4+9=24．

（3）如图

设点E的坐标为（a，4），
∴AE=a-3，
由（2）得AB=6，OC=9，BC=4，
∴S_梯形OABC=$\frac{1}{2}$（AB+OC）×BC=$\frac{1}{2}$（6+9）×4=30，
∵直线l经过点D（3，0），
∴OD=3，
∵直线l将直角梯形OABC的面积分成相等的两部分，
∴S_梯形OAED=$\frac{1}{2}$S_梯形OABC=$\frac{1}{2}$×30=15，
∴S_梯形OAED=$\frac{1}{2}$（AE+OD）×BC=$\frac{1}{2}$×（a-3+3）×4=15，
∴a=$\frac{9}{2}$，
∴E（$\frac{9}{2}$，4），
∵D（3，0），
∴直线解析式为y=$\frac{8}{3}$x-8．
（4）∵C_OABC=24，故被l分成的两部分分别为10和14．
若l左边部分为10，则s=10-3=7，
∴P（5，4）．
设PD为：y=mx+n，则$\left\{\begin{array}{l}{5m+n=4}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-6}\end{array}\right.$，
∴y=2x-6；
若l左边部分为14，则s=14-3=11，
∴P（9，4）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{9m+n=4}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{2}{3}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{2}{3}$x-2．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，梯形的面积，周长，解本题的关键是求出梯形OABC的周长和面积．