Question

14．如图，OA=2，以点A为圆心，1为半径画⊙A与OA的延长线交于点C，过点A画OA的垂线，垂线与⊙A的一个交点为B，连接BC
（1）线段BC的长等于$\sqrt{2}$；
（2）请在图中按下列要求逐一操作，并回答问题：
①以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于$\sqrt{6}$
②连OD，在OD上画出点P，使OP的长等于$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，请写出画法，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由圆的半径为1，可得出AB=AC=1，结合勾股定理即可得出结论；
（2）①结合勾股定理求出AD的长度，从而找出点D的位置，根据画图的步骤，完成图形即可；
②根据线段的三等分点的画法，结合OA=2AC，即可得出结论．

解答 解：（1）在Rt△BAC中，AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．
（2）①在Rt△OAD中，OA=2，OD=$\sqrt{6}$，∠OAD=90°，
∴AD=$\sqrt{O{D}^{2}-O{A}^{2}}$=$\sqrt{2}$=BC．
∴以点A为圆心，以线段BC的长为半径画弧，与射线BA交于点D，使线段OD的长等于$\sqrt{6}$．
依此画出图形，如图1所示．

故答案为：A；BC．
②∵OD=$\sqrt{6}$，OP=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$，OC=OA+AC=3，OA=2，
∴$\frac{OA}{OC}=\frac{OP}{OD}=\frac{2}{3}$．
故作法如下：
连接CD，过点A作AP∥CD交OD于点P，P点即是所要找的点．
依此画出图形，如图2所示．

点评 本题考查了作图中的寻找线段的三等分点以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用勾股定理求出BC的长；（2）①利用勾股定理求出AD的长；②会画线段的三等分点．本题属于中档题，难度不大，（2）中巧妙的借助了OA=2AC，从而利用比例找出了点P的位置．