Question

19．已知二次函数y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，且图象过A（x₁，m）、B（x₁+n，m）两点，则m、n的关系为（　　）

• A． m=$\frac{1}{2}$n
• B． m=$\frac{1}{4}$n
• C． m=$\frac{1}{2}$n²
• D． m=$\frac{1}{4}$n²

Answer 1

分析 由“抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=-$\frac{b}{2}$时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c，其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，故A（-$\frac{b}{2}$-$\frac{n}{2}$，m），B（-$\frac{b}{2}$+$\frac{n}{2}$，m）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征即可得出结论．

解答 解：∵抛物线y=x²+bx+c与x轴只有一个交点，
∴当x=-$\frac{b}{2}$时，y=0．且b²-4c=0，即b²=4c．
又∵点A（x₁，m），B（x₁+n，m），
∴点A、B关于直线x=-$\frac{b}{2}$对称，
∴A（-$\frac{b}{2}$-$\frac{n}{2}$，m），B（-$\frac{b}{2}$+$\frac{n}{2}$，m），
将A点坐标代入抛物线解析式，得m=（-$\frac{b}{2}$-$\frac{n}{2}$）²+（-$\frac{b}{2}$-$\frac{n}{2}$）b+c，即m=$\frac{{n}^{2}}{4}$-$\frac{{b}^{2}}{4}$+c，
∵b²=4c，
∴m=$\frac{1}{4}$n²，
故选D．

点评 本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，根据题意得出抛物线的对称轴方程是解答此题的关键．