Question

如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠DAB，BF⊥DC交AE于点G，且BF=AB
（1）若∠C=60°，BE=

3

，求FG的长；
（2）证明：AD=BG+FC．

Answer 1

考点：平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用等角对等边即可证明BA=BE，在直角△ABG中求的BG和AB的长，根据FG=BF-BG即可求解；
（2）作CH⊥AB于点H，延长AH到I，使HI=BG，则BI=BG+FC，然后证明△BCI是等腰三角形即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠C=∠BAD=60°，CD∥AB，
∴∠1=∠3，
∵AE平分∠DAB，
∴∠1=∠2=30°，
∴∠2=∠3，
∴AB=BE=

3

，
∵BF⊥DC，
∴∠DFB=90°，
∵CD∥AB，
∴∠ABF=90°，
∴BG=

1

2

AG，
在Rt△ABG中：AG²=AB²+BG²，
∴（2BG）²=（

3

）²+BG²，
解得：BG=1，
又∵BF=AB，
∴FG=BF-BG=

3

-1；
（2）作CH⊥AB于点H，延长AH到I，使HI=BG．
则四边形BFCH是矩形，
则CF=BH，CH=BF=AB．
在△ABG和△CHI中，

BF=CH ∠ABG=∠CHI BG=HI

，
∴△ABG≌△CHI（SAS）．
∴∠I=∠AGB，∠ICH=∠2，
∴∠ICH=∠3，
∵BF∥CH，
∴∠FBE=∠BCH，
又∵∠I=∠AGB=∠3+∠ABE，∠BCI=∠BCH+∠ICH，
∴∠BCI=∠I，
∴BC=BI=BH+HI．
又∵BH=FC，HI=BG，平行四边形ABCD中AD=BC，
∴AD=BG+FC．

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定定理以及全等三角形的判定与性质，作出辅助线是关键．